Concurso publico

Este tutorial trará uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste quinto tutorial serão visto as questões com números denominados : MMC e MDC (Mínimo Múltiplo Comum) e (Máximo Divisor Comum). Serão observadas e acompanhadas as definições técnicas deste tema, e realizados exemplos de cálculos. Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

Múltiplos Comuns e Mínimos Múltiplos Comuns (MMC)

* Definição

Se informados dois ou mais números inteiros e que não sejam nulos, ou seja = 0, os conjuntos dos múltiplos destes dados números, terão sempre infinitos elementos comuns a todos eles, os quais podemos definir como múltiplos comuns.

Então é possível dizer que um número natural (N) (a) é múltiplo de outro natural (b), se existe um número natural Q, que satisfaça:

a = Q x b

* Primeiras Observações

Analisando os dados informados abaixo, mais adiante se farão algumas conclusões:

1) M (4) ={0, +/-4, +/-8, +/- 12, +/-16, +/-20, +/-24, +/-28, +/-32, +/-36, +/-40...}

2) M (6) = {0, +/-6, +/-12, +/- 18, +/-24, +/-30, +/-36, +/-42, +/-48, +/-54, +/-60...}

3) M (8) = {0, +/-8, +/-16, +/- 24, +/-32, +/-40, +/-48, +/-56, +/-64, +/-72, +/-80...}

É observado que possuímos nos resultados de multiplicação alguns valores que são comuns a todos eles, nos conjuntos números formados acima:

Neste caso o número comum a todos os elementos é : +/-24.

* Como calcular o conjunto dos múltiplos

Dado a definição:

a = Q x b

Temos que a é múltiplo de b se podermos conhecer b e se queremos obter todos os múltiplos respectivos, basta fazer com que a variável Q assuma todos os números naturais possíveis.

Para se obter os múltiplos de 3, isto é os números que satisfaça a sentença a = Q x 3, onde Q é substituído por todos os números naturais que se possa ter.

Veja alguns cálculos:

0 >>>>>> a = Q x b -> 0 = 0 x 3

0 >>>>>> a = Q x b -> 3 = 1 x 3

0 >>>>>> a = Q x b -> 6 = 2 x 3

0 >>>>>> a = Q x b -> 9 = 3 x 3

0 >>>>>> a = Q x b -> 12 = 4 x 3

O conjunto formado pelos números naturais é infinito, desta forma podemos ter infinitos múltiplos que formam os conjuntos dos multiplicadores M(x)

Então, calculando os múltiplos de 9, temos:

M(9) = {0,18,27,36,45,54,63,72,80...}

* Multiplicador Universal

É notado que sempre estamos colocando o número “ 0” em nossos conjuntos, pois ele é considerado número natural (N).

Desta forma o número “ 0” será múltiplo de todo número natural. Tendo Q = 0 na sentença a = Q.b, temos com resultado a = 0 para todo número b natural.

Veja os exemplos:

a = Q X b >> a = 0 x 1-> a = 0

a = Q X b >> a = 0 x 2-> a = 0

a = Q X b >> a = 0 x 3-> a = 0

a = Q X b >> a = 0 x 4-> a = 0

a = Q X b >> a = 0 x 5-> a = 0

* Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais números inteiros e não nulos, pode ser definido ao menor número positivo que seja múltiplo de todos os números dados na sentença.

Desta forma, no exemplo pratico no início do tutorial:

1) M (4) ={0, +/-4, +/-8, +/- 12, +/-16, +/-20, +/-24, +/-28, +/-32, +/-36, +/-40...}

2) M (6) = {0, +/-6, +/-12, +/- 18, +/-24, +/-30, +/-36, +/-42, +/-48, +/-54, +/-60...}

3) M (8) = {0, +/-8, +/-16, +/- 24, +/-32, +/-40, +/-48, +/-56, +/-64, +/-72, +/-80...}

Temos que MMC de (4,6,8) = 24, pois este é o menor número positivo que é múltiplo de 4,6,8, simultaneamente.

* Determinando o MMC através do método de decomposição em fatores primos

Siga o raciocínio dos cálculos abaixo:

Ex.: Determinar o MMC dos números 12, 18, 24

1) Decomponha os números dados em fatores primos

12 , 18, 24 |2

6, 9, 12 |2

3, 9, 6 |2

3, 9, 3 |3

1, 3, 1 |3

1, 1, 1

2 x 3²

Explicando os cálculos:

Anotar a esquerda todos os números envolvidos na sentença e traçar um traço vertical.

Anotar na linha à direita após o traço vertical o menor número primo que seja capaz de dividir algum dos números dados que estão à esquerda. Faça a divisão e anote abaixo dos números o resultado obtido da divisão (se divisível é claro) ou então repita o mesmo número se não for possível efetuar a divisão. Repita os mesmos procedimentos até que todos os números propostos estejam em unidade.

2) O MMC dos números 12,18,24 será o produto de todos os fatores primos resultantes encontrados, tomando sempre os maiores expoentes encontrados, dentro todos os números decompostos:

MMC (12,18,24) = 2 x 3² = (2x2x2)x(3x3) = 72

Então, após efetuado a decomposição de todos os fatores primos dos números dados, basta fazer a multiplicação de todos os termos encontrados.

Divisores Comuns e Máximo Divisor Comum (MDC)

* Definição

Informados dois números inteiros e que não sejam nulos (# 0), diferente de zero, temos os conjuntos dos divisores destes números e que terão sempre dois ou mais números comuns a todos eles, aos quais são denominados divisores comuns.

Ou seja, dois números naturais têm sempre divisores comuns.

Faça a observação dos números divisores dos seguintes elementos:

D (24) = {+/-1, +/-2, +/-3, +/-4, +/-6, +/- 8, +/- 12, +/-24}

D (36) = {+/-1, +/-2, +/-3, +/-4, +/-6, +/- 12, +/-36}

Chamamos de MDC (Máximo Divisor Comum) de dois elementos o número maior dentre os divisores dos números apresentados.

Assim o MDC (24,36) = 12

* Como calcular o conjunto dos múltiplos

No processo para se calcular o MDC (Máximo Divisor Comum), efetuamos basicamente duas formas para chegar ao resultado:

1) a decomposição dos números até chegar a uma divisão exata

MDC (12,16) =

Desta forma o MDC é resultado da multiplicação dos fatores primos comuns entre os resultados na divisão.

MDC (12,16) = 2 x 2 = 4

2)Divisão do maior número pelo menor número

Regra prática:

Nesta forma dividi-se o número maior pelo número menor, efetuando várias divisões até chegar uma divisão exata.

O divisor então, deste cálculo será chamado de MDC (Máximo Divisor Comum).

Desta forma, efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão será então o MDC. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(30,18).

Acompanhe:

1º) dividimos o número maior pelo número menor

30 / 18 = 1 (com resto 12 )

2º) dividimos o divisor 18, que é divisor da divisão anterior, por 12, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente:

18 / 12 = 1 (com resto 6 )

12 / 6 = 2 (com resto zero – divisão exata)

3º) O divisor da divisão exata é 6. Então MDC (30,18) = 6.

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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Este tutorial trará uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste quarto tutorial serão visto as questões com a divisibilidade de números. Serão mostradas as definições técnicas deste tema, e realizados exemplos e aplicação de propriedades sobre regras de divisões de alguns números. Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

Divisibilidade de números

* Definição

Em diversas situações é preciso saber se um número natural (N) é divisível por outro número natural, sem a necessidade de saber o resultado da operação, apenas para ter a certeza de que realmente os números são divisíveis entre si.

Desta forma podemos definir que o divisor de um número inteiro B é qualquer número inteiro C de tal forma que B = C x N para um número inteiro N qualquer.

Então, é possível indicar o conjunto dos números divisores de um número inteiro B por:

- Quando C é um divisor de N se diz que N é divisível por C.

- O número zero (0) não pode ser divisor de qualquer número.

- O menor divisor de um número inteiro C qualquer é 1.

- O maior divisor de um número inteiro N qualquer é |N|.

- O número 1 é divisor de todos os números inteiros. O número 1 é o divisor universal.

Aqui serão usados exemplos de algumas regras mais conhecidas como critérios de divisibilidade, tais como: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 17.

* Critérios de divisibilidade

Abaixo serão listados alguns critérios de divisibilidade mais comuns, bem como exemplos práticos de fixação.

- Divisão por 2

Um certo número é divisível por 2, sempre que o algarismo das unidades forem os números (0,2,4,6 ou 8).

Em resumo: quando o número termina com os números (0,2,4,6,8).

Exemplos de fixação:

O número 410 >>>> é divisível por 2, pois termina em 0, resultado = 205

O número 512 >>>> é divisível por 2, pois termina em 2, resultado = 256

O número 354 >>>> é divisível por 2, pois termina em 4, resultado = 177

O número 786 >>>> é divisível por 2, pois termina em 6, resultado = 393

O número 188 >>>> é divisível por 2, pois termina em 8, resultado = 94

- Divisão por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma total dos seus algarismos também for divisível por 3.

Em resumo: Somar todas as partes do número, o resultado desta soma deve ser também divisível por 3.

Exemplos de fixação:

O número 573 >>> soma-se ( 5 + 7 + 3 = 15, que é divisível por 3), então 573÷3 = 191

O número 972 >>> soma-se ( 9 + 7 + 2 = 18, que é divisível por 3), então 972÷3 = 324

O número 10008 >>> soma-se ( 1 + 0 + 0 + 0 + 8 = 9, que é divisível por 3),

então 10008÷3 = 3336

- Divisão por 4

Um número qualquer é considerado divisível por 4, quando a soma dos seus dois últimos algarismos forma um número divisível por 4.

Em resumo: A soma dos dois últimos números deve ser divisível por 4.

Exemplos de fixação:

O número 6596 >>> os dois últimos algarismos 96 é divisível por 4, resultado 6596÷4 = 1649

O número 7844 >>> os dois últimos algarismos 44 é divisível por 4, resultado 7844÷4 = 1961

O número 1556 >>> os dois últimos algarismos 56 é divisível por 4, resultado 1556÷4 = 389

- Divisão por 5

Um número é divisível por 5, todas as vezes que o algarismo das unidades numéricas forem iguais a 0 ou 5.

Em resumo: Todas as vezes que o número terminar com 0 ou 5.

Exemplos de fixação:

O número 1250 >>>> tem sua terminação em 0, resultado 1250÷5 = 250

O número 5555 >>>> tem sua terminação em 5, resultado 5555÷5 = 1111

O número 3650 >>>> tem sua terminação em 0, resultado 3650÷5 = 730

- Divisão por 6

Um número pode ser considerado divisível por 6, quando este for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

Em resumo: O número tem que ser divisível pelo número 2 e 3.

Exemplos de fixação:

O número 36 >>>> temos 36÷2 = 18 e 36÷3 = 12, assim o resultado 36÷6 = 6

O número 72 >>>> temos 72÷2 = 36 e 72÷3 = 24, assim o resultado 72÷6 = 12

O número 84 >>>> temos 84÷2 = 42 e 84÷3 = 28, assim o resultado 84÷6 = 14

- Divisão por 7

Um número é divisível por 7 quando a diferença entre as suas dezenas e o dobro do valor do seu algarismo das unidades é divisível por 7.

Em resumo: Se pega o último algarismo e calcula o seu dobro, diminui este resultado do restante da formação do número.

Exemplos de fixação:

O número 819 >>>> temos 9 x 2 = 18, 81 – 18 = 63 (que é divisível por 7), assim o resultado de 819÷7 = 63

O número 784 >>>> temos 4 x 2 = 8, 78 – 8 = 70 (que é divisível por 7), assim o resultado de 784÷7 = 112

O número 903 >>>> temos 3 x 2 = 6, 90 – 6 = 84 (que é divisível por 7), assim o resultado de 903÷7 = 129

- Divisão por 8

Um certo número é divisível por 8 quando a formação dos seus 03 últimos algarismos formarem um número que seja divisível por 8.

Em resumo: Os 03 últimos números tem que ser divisível por 8.

Exemplos de fixação:

O número 1960 >>>> temos 960÷8 = 120, assim o resultado de 1960÷8 = 245

O número 1400 >>>> temos 400÷8 = 50, assim o resultado de 1400÷8 = 175

- Divisão por 9

Um número é divisível por 9, quando a soma absoluta dos números que o compõem é também divisível por 9.

Em resumo: Somar todas as partes do número, o resultado desta soma deve ser também divisível por 9.

Exemplos de fixação:

O número 5463 >>>> temos (5 + 4 + 6 + 3 = 18, que é divisível por 9), então o resultado é 5463÷9 = 607

O número 2259 >>>> temos (2 + 2 + 5 + 9 = 18, que é divisível por 9), então o resultado é 2259÷9 = 251

- Divisão por 10, 100, 1000, 10000 e sucessivamente

Um número é divisível por 10, 1000 ou 10000 ou tantos “ 0” quantos forem a direita, quando o número tiver sua terminação em “ 0” com suas quantidades respectivas de “ 0”.

Em resumo: O número para ser divisível por “10,100 e etc.”, precisa terminar em “ 0”, com suas quantidades respectivas à direita.

Exemplos de fixação:

O número 100 >>>> termina em “0” é divisível por 10 e por 100, o resultado então fica 100÷10=10, 100÷100=1

O número 1000 >>>> termina em “0” é divisível por 10, 100 e por 1000, o resultado então fica 1000÷10 = 100, 1000÷100 = 10, 1000÷1000 = 1

- Divisão por 11

Um número é divisível por 11, quando a soma absoluta dos algarismos de ordem impar e de ordem par, a partir da direita para a esquerda tiver como diferença o número 11.

Em resumo: Soma-se o número em ordem alternativa da direita para a esquerda e a diferença deve ser 11.

Exemplos de fixação:

O número 14927 ( 1ª soma: 7 + 9 + 1 = 17, 2ª soma : 2 + 4 = 6, então 17 – 6 = 11), assim o resultado 14927÷11 = 1357

O número 1727 ( 1ª soma: 7 + 7 = 14, 2ª soma: 2 + 1 = 3, então 14 – 3 = 11), assim o resultado 1727÷11 = 157

- Divisão por 17

Um número é divisível por 17 quanto o quíntuplo do ultimo algarismo, subtraído do número que não contem este último algarismo, tiver como resultado um número que é dividido por 17. Caso o número obtido ainda for grande, o processo é repetido, até que a divisão de o resultado 17.

Em resumo: Tira-se o último algarismo e multiplica por 5 e subtrai do restante do número sem o respectivo número que foi multiplicado.

O número 19074 >>>> ( 4 x 5 = 20, 1907 – 20 = 1887, 7 x 5 = 35, 188 – 35 = 153, 3 x 5 = 15, 15 -15 = 0), assim 19074÷17=1122

O número 221 >>>> ( 1 x 5 = 5, 22 – 5 = 17), assim 221÷17=13

O número 238 >>>> ( 8 x 5 = 40, 23 – 40 = -17), apesar de ser negativo é divisível por 17, assim 238÷17=14.

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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Objetivos:

Este tutorial trará uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste terceiro tutorial serão visto as questões relacionadas com Números e Grandezas Proporcionais, bem como razão e proporção. Serão mostradas as definições técnicas deste tema, e realizados exemplos e aplicação de propriedades sobre Números e Grandezas Proporcionais. Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

Números e Grandezas Proporcionais

* Grandeza

È todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal forma, quando há a variação de um, como conseqüência o outro varia também.

Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas. Por exemplo: quando falamos em: velocidade, tempo, peso, espaço, etc., estamos lidando diretamente com grandezas que estão relacionadas entre si.

Exemplo: Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo maior ou menor dependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir em seu percurso realizado.

Assim também a quantidade de trabalho a ser realizado em um determinado tempo depende do número de operários empregados e trabalhando diretamente na obra a ser concluída o que se deseja concluir.

A relação de dependência entre duas grandezas, dependendo da condição apresentada, pode ser classificada como Diretamente proporcional ou Inversamente proporcional.

Grandeza Diretamente Proporcional

È definido como Grandeza Diretamente Proporcional as grandezas que são diretamente proporcionais quando a variação de uma implica na variação ou mudança da outra, na mesma proporção, mesma direção e sentido.

Exemplo: 01 Kg de carne custa “Y”, se a pessoa comprar 02 Kgs de carne então ela pagará “02 y”.

Exemplo: Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se ela comprar 20 borrachas o custo total será de R$ 2,00, calculando o preço unitário de R$ 0,10.

Grandeza Inversamente Proporcional

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de uma implica necessariamente na variação da outra, na mesma proporção, porém, em sentido e direção contrários.

Exemplo: Velocidade e tempo.

Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total de 10 metros em 10 segundos. Se este mesmo carro aumentar para 200 km/h gastará apenas 05 segundos para percorrer os mesmos 10 metros.

* RAZÃO E PROPORÇÃO

RAZÃO - A razão entre dois números, dados uma certa ordem, sendo o segundo número sempre diferente de zero, é o quociente indicado do primeiro pelo segundo.

Exemplo: a razão de 09 para 12 = 09/12 ou 09: 12

a razão de 05 para 10 = 05/10 ou 05:10

a razão de 06 para 18 = 06/18 ou 06:18

Obs. Importante.: 1) Lê-se: nove está para doze sendo que o 1 º número é antecedente e 2º número é conseqüente.

Então: cinco está para dez, sendo 05 o antecedente e 10 o conseqüente.

seis está para dezoito, sendo 06 o antecedente e 18 o conseqüente.

Obs. Importante.: 2) Quando o antecedente de uma razão for igual ao conseqüente de outra, ou vice-versa, dizemos que formam duas razões inversas. Ex: c/d e d/c

PROPORÇÃO – É a sentença matemática que exprime igualdade entre duas razões.

Obs.:

Cada elemento de uma proporção é denominado termo da proporção sendo que os 1º e 3º termos são chamados de termos antecedentes e os 2º e 4º são chamados termos conseqüentes e que os 1º e 3º termos de uma proporção formam os meios e os 2º e 4º termos, formam os extr emos.

PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES

1 – Propriedade Fundamental

Em toda proporção o produto dos meios é sempre igual ao produto dos extremos.

2/5 = 4/10 » 5 x 4 = 20 | 2 x 10 = 20

Aplicação:

7 / 8 = x / 40 onde 8 x X = produtos dos meios | 7 x 40 = produto dos extremos

Temos então: 8x = 280, logo X = 280/8 = 35.

2 – Composição

Em toda proporção, a soma dos primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo, assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro ou para o quarto termo.

Aplicação:

A soma de dois números é 80 e a razão entre o menor e o maior é 2/3. Achar o valor desses números.

a = menor

b = maior

Conclui-se: se o menor vale a= 32, o maior então será 80 – 32 = 48.

3 – Decomposição

Em qualquer proporção, a diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo, assim como a diferença entre os dois está para o terceiro ou para o quarto termo.

Aplicação:

Determinar dois números, sabendo-se que a razão entre eles é de 7/3 e que a diferença é 48.

a = maior

b = menor

a – b = 48

Portanto,

Se a – b = 48, então b = 84 – 48 = 36

4 – Em toda proporção a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como qualquer antecedente está para seu conseqüente.

Aplicação:

Calcular “a” e “b”, sendo que a+b = 63 e a/3 = b/4

Então a soma de a+b = 63, sendo a = 27 e b=36 = 63.

5 – Em qualquer proporção, a diferença dos antecedentes esta para a diferença dos conseqüentes, assim como qualquer antecedente está para o seu conseqüente.

6 – Em qualquer proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim como o quadrado de um antecedente está para o quadrado de seu conseqüente.

Aplicação:

A área de um retângulo é de 150 m² e a razão da largura para o comprimento é de 2/3. Encontrar essas medidas.

a = largura b = comprimento

a² = 150 x 4 : 6 = 100, a² = 100, a = 10

a = largura = 10m, b= comprimento = 15m

7 – Em qualquer proporção, elevando-se os quatro termos ao quadrado, resulta em uma nova proporção.

Aplicação:

A soma do quadrado de dois números é 468 e a razão do menor para o maior é de 2/3. Determinar esses números.

Logo, a² = 144, a = 12.

Obs. O valor de “b” é calculado seguindo-se o mesmo procedimento para calcular o valor de “a”.

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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Operações Fundamentais com Números

Objetivos:

Este tutorial trará uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste segundo tutorial será visto as operações fundamentais com números. Operações que parecem ser de simples resolução para alguns, porém para muitas pessoas o simples fato de somar ou dividir, é tarefa não muito fácil. Algumas pessoas têm as noções básicas das operações, no entanto, ainda cometem erros primários. Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta .

Operações fundamentais com números

* Adição

A primeira operação fundamental na Matemática é a adição. Esta operação nada mais é que o ato de adicionar ou adir algo. É reunir todas as frações ou totalidades de algo.

A adição é chamada de operação. A soma dos números chamamos de resultado da operação.

Relembrar: 10 + 5 = 15

10 e 5 são as parcelas; 15 é a soma ou resultado da operação de adição. A operação realizada acima denomina-se, então, ADIÇÃO.

A adição de dois ou mais números é indicada pelo sinal +.

Para calcular a adição, colocamos os números em ordem de unidade, dezena, centena e milhar. Feito isto pode ser efetuada a soma da operação adição.

Exemplo:

1.253 + 2.715

MILHAR	CENTENA	DEZENA	UNIDADE
1	2	5	3
2	7	1	5

Resultado: Adiciona-se 1 milhar a 2 milhares = 3 milhares (3 mil), adiciona-se 2 centenas a 7 centenas (9 centenas), adiciona-se 5 dezenas a 1 dezena (6 dezenas), adiciona-se 3 unidades a 5 unidades(8 unidades), então 3.968 é o resultado (ou seja, a soma) da operação adição dos números 1.253+2.715.

Diante da operação de adição, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:

1) Observe: 4 + 5 = 9 4 + 5 = 5 + 4 onde 5 + 4 = 9

Deduz-se :

1. 4 + 5 e 5 + 4 possuem a mesma soma.
2. As ordens das parcelas não alteram o resultado da soma.
3. A propriedade que permite trocar ou mudar (comutar, permutar) a ordem das parcelas é a propriedade comutativa.

A propriedade comutativa da adição é representada pela sentença: a + b = b + a e é denominada comutativa da adição.

2) Consideramos três parcelas 5, 4, 2, assim são indicadas: (5+4)+2. Efetuando a operação de adição entre parênteses temos o resultado a soma 9, na seqüência adicionamos a número 2, e mediante isto temos o resultado final a soma 11.

Isto é: (5+4) + 2 = 11 (resultado soma final)

Observe, agora, a soma final conforme outra indicação:

5 + (4+2) = 11 (resultado soma final).

Deduz-se :

Na adição de três parcelas, é indiferente associar as duas primeiras e posteriormente a terceira, ou associar as duas últimas e posteriormente associar a primeira. Esta propriedade tem como denominação propriedade associativa.

Assim fixa-se esta propriedade: a + (b+c) = (a+c) + b

3) Tendo como base os últimos exemplos, conclui-se que existe um número que não altera a o resultado final da soma, mesmo comutando a ordem das parcelas. Este número é o zero (0).

Assim fixa-se esta propriedade: a+0 = 0+a = a (Neutro da adição)

* Subtração

A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo. É diminuir alguma coisa. O resultado desta operação de subtração denomina-se diferença ou resto.

Relembrar: 9 – 5 = 4

Essa igualdade tem como resultado a subtração.

Os números 9 e 5 são os termos da diferença 9-5. Ao número 9 dar-se o nome de minuendo e 5 é o subtraendo.

O valor da diferença 9-5 é 4, este número é chamado de resto ou excedente de 9 sobre 5.

Veja as análises abaixo:

1. 10 – 10 = 0 > O minuendo pode ser igual ao subtraendo.
2. 9 – 11 > é impraticável em N, é o mesmo que escrever 9 – 11 não pertence N.

Assim, o subtraendo deve ser menor ou igual ao minuendo, para que uma operação de subtração se realize em N.

A operação de subtração nem sempre é viável entre dois números naturais. Então, é necessário que em uma subtração em N, o minuendo seja maior ou igual ao subtraendo.

Diante da operação de subtração, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:

1. O conjunto N não é fechado em relação à operação de subtração, pois 4 – 5 não pertence a N.
2. A subtração em N não possui elemento neutro em relação à operação de subtração:

6 – 0 = 6 Entretanto: 0 – 6 ≠ 6

Logo: 0 – 6 ≠ 6 -0

3. A subtração no conjunto N não admite propriedade comutativa, pois: 4 – 5 ≠ 5 – 4.
4. A subtração no conjunto N não aceita a propriedade associativa, pois (10 – 4) – 2 ≠ 10 – (4-2)

A operação de subtração pode ser considerada como a operação inversa da adição.

Considerando:

7 + 2 = 9 “equivale a” 7= 9 – 2

7 + 2 = 9 “equivale a” 2= 9 - 7

Concluindo: a) A subtração é inversa a adição. b) Uma das parcelas é igual a soma menos a outra.

Observe esta sentença:

Y + a = c ou a + y = c

Suponha que a e c são dois números naturais conhecidos e x também é um número natural, mas desconhecido. De que modo é possível calcular o valor de x?

Desta forma: a + c = a ou a + y = c > y = a - c

* Multiplicação

É a ação de multiplicar. Denomina-se a operação matemática, que consiste em repetir um número, chamado multiplicando, tantas vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro número que representa o produto dos dois.

Definindo ainda, multiplicação é a adição de parcelas iguais, onde o produto é o resultado da operação multiplicação; e os fatores são os números que participam da operação.

a. b = c a.b > fatores c > produto da operação.

De um modo mais amplo e um pouco avançado, podemos expressar:

A + a = a x 2 ou a.2 ou simplesmente 2a

Y + y +y = y x 3 ou y.3 ou simplesmente 3y

W+w+w+w+w+w = w x 6 ou w.6 ou simplesmente 6w

Diante da operação da multiplicação, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:

1. a propriedade que permite comutar (ou trocar/mudar) a ordem dos fatores é a propriedade comutativa, no caso da operação de multiplicação e pode ser assim simbolizada:

a . b = b . a ou a x b = b x a Comutativa da multiplicação

2. para fazer o cálculo 4.5.6, pode ser usado este caminho :

(4.5) . 6 > Calcula-se primeiro o que se encontra dentro dos parênteses (que é 20), em seguida multiplica-se por 6, dando o resultado = 120

A essa regra de associar fatores da operação multiplicação chama-se associativa da multiplicação.

3. A propriedade comutativa nos permite que seja usado:

1 . x = x ou x.1 = x

É fácil checar que qualquer que seja o número colocado no lugar do X, terá como produto da operação o próprio X.

Então podemos notar que o elemento neutro da multiplicação é o número 1.

4. Multiplicando-se dois números naturais o resultado será sempre um número natural que pode ser traduzido a propriedade do fechamento da multiplicação

A pertence N e B pertence N (a.b) pertence N

* Divisão

É o ato de dividir ou fragmentar algo. É a operação na matemática em que se procura achar quantas vezes um número contém em outro ou mesmo pode ser definido como parte de um todo que se dividiu.

À divisão dá o nome de operação e o resultado é chamado de Quociente.

1) A divisão exata

Veja: 8 : 4 é igual a 2, onde 8 é o dividendo, 2 é o quociente, 4 é o divisor, 0 é o resto

A prova do resultado é: 2 x 4 + 0 = 8

Propriedades da divisão exata

1. Na divisão em N não vale o fechamento, pois 5 : 3 não pertence a N
2. O conjunto N não têm elemento neutro em relação a divisão, pois 3:1 = 3, entretanto 1:3 não pertence a N. Logo 3:1 é diferente de 1:3
3. A divisão em N não tem a propriedade comutativa, pois 15 : 5 é diferente de 5: 15
4. A divisão em N não tem a propriedade associativa, pois (12:6) : 2 = 1 é diferente de 12 : (6:2) = 4

Pode-se afirmar que a divisão exata tem somente uma propriedade.

Observe este exemplo: (10 + 6) : 2 = 16 :2 = 8

(10+6):2 = 10:2 + 6 :2 = 8

O quociente não sofreu alteração alguma permanecendo o mesmo 8. Chamamos então esta propriedade de distributiva da divisão exata válida somente para direita, com relação às operações de adição e subtração.

Um dos mandamentos da matemática é JAMAIS DIVIDA POR ZERO. Isto significa dizer que em uma operação o divisor tem que ser maior do que zero.

2) A divisão não-exata

Observe este exemplo: 9 : 4 é igual a resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é o quociente e 1 é o resto.

A prova do resultado é: 2 x 4 + 1 = 9

De um modo geral na divisão :

Operação divisão exata: D:d = q > d.q = D, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e o resto é subentendido “igual a zero”.

Operação divisão não-exata : D = d.q + r, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente, r é o resto.

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima. Clique aqui para ler o texto completo.

Objetivos:

Este tutorial trará uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Nestas séries serão abordados assuntos tais como: Descontos, Juros Simples, Porcentagem, Regra de Sociedade, Regra de três Composta, Regra de três Simples, Grandezas Inversamente Proporcionais, Números e Proporções, Sistema Legal de Medidas, Números Inteiros, Noções de Funções de primeiro e segundo grau, mais alguns temas que são abordados quase sempre na maioria das provas em concursos que são realizados em todo o Brasil. Você aprenderá definições e terá também auxílio de exemplos práticos para melhor compreensão.

Conhecimentos Básicos de Matemática

O que é Matemática?

Podemos dizer que é difícil definir em poucas palavras o que é matemática, e toda definição não conseguirá expressar o grande complexo que é o significado da matemática; porém podemos tentar dar uma noção: A principio a palavra matemática deriva da palavra grega "matemathike" que significa "ensinamentos". A matemática é uma ciência formal (suas evidências e definições são independentes das outras ciências) que se baseia em: teoremas, e etc, para chegar a conclusões teóricas e práticas. Ela também pode ser vista como um sistema formal de pensamento para reconhecer, classificar e explorar padrões. A matemática como uma expressão da mente humana, ativa os reflexos, o expressar da razão e o grande desejo pela perfeição em números, pois 2+2 = 4 e não = 5. É também chamada por muitos estudiosos de linguagem universal ( a matemática é uma linguagem porque é formada por signos representativos e linguísticos que passam idéias e significados). Pode ser dividida em matemática aplicada com seus elementos básicos e a matemática pura.

Para que serve a matemática?

É o método mais eficiente de racionalizar a natureza e seus complexos de sentidos. Em razão da matemática, conseguimos desvendar e resolver um número bem extenso de problemas de diversas áreas da Ciência. Vamos a alguns exemplos:

1. Qual a curva que liga dois pontos fixos?
2. Qual o caminho que a luz faz ao refletir numa superfície qualquer?
3. Por que quando apertamos os pólos de um ovo não conseguimos quebrá-los?
4. Quanto é 2+2? Isto mesmo sem a matemática, nem esta simples operação você conseguiria resolver com tamanha facilidade.

É realmente interessante a Ciência Matemática e seus poderes de resoluções..

Qual a importância da matemática na sociedade ?

Estamos cientes que, a parte mais simples e conhecida da matemática é a aritmética (operações com números). Imagine só se os números simplesmente não existissem em nosso mundo. Como seríamos? Como poderíamos receber nosso salário? Ou mesmo fazer um simples cálculo de idade. Um pouco complicado, não ? Temos que admitir que estamos cercados por números! A qualquer lugar que você vá aparecerá a necessidade de quantificação, em outras palavras : números. Esta é talvez a principal teoria da matemática, mas não é a única, pois existem muitas outras as quais são também aplicáveis à sociedade.

Agora que estamos cientes da importância da matemática no dia-a-dia das pessoas, na sociedade e vendo-a como um auxílio a soluções de problemas diversos nas Ciências, vamos ao estudo de alguns temas básicos.

Conjunto dos Números

Números Inteiros

O conjunto de números inteiros representados pela letra “Z”, é o conjunto dos números inteiros naturais acrescentados dos seus respectivos números opostos negativos. Podemos dizer que os números inteiros expressam em sua definição sentido de quantidade (os números inteiros positivos) e a “falta” de quantidade (os números inteiros negativos).

Assim os números inteiros são exemplos:

Z = {-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

-3 -2 -1 0 1 2 3

_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____

Temos ainda derivado dos números inteiros “Z”, o conjunto dos números inteiros sem o elemento “ 0”.

Z* = {-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,3,4,5,6,7,8,9,10}

Os números naturais são representados na matemática pela letra “N”. Através deste simples conjunto abaixo podemos fixar a idéia de números naturais:

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19, 20,21,22,23,24,25,26,27....}

Chegamos então à conclusão que como todos os números naturais “N”, são número inteiros “Z”, então dizemos que “N” é um subconjunto de “Z”, ou que N está contido em Z = NZ.

Números Racionais

Números racionais podem ser definidos como números que podem ser escritos na forma P/Q (P dividido por Q).

Assim, quando dividimos um número inteiro, por exemplo, representado pela letra (b), por outro número inteiro representado pela letra (c), temos como resultado um número racional. Os números racionais são representados por uma porção inteira e uma porção fracionária.

Um exemplo simples:

Se b= 10 e c= 5, temos como resultado o número racional 2,0. Quando b=3 e c = 5, temos como resultado o número racional = 0,6. Ambos têm um número finito e limitado de casas após a vírgula e são definidos como números racionais de decimal exata.

É claro que existem casos de números de casas após a vírgula, que são infinitos, pois a divisão não é exata.

Um exemplo simples:

Se b=6 e c=9, temos como resultado o número racional de casa após a vírgula infinita 0,6666666... É o que chamamos e a matemática define como dizima periódica.

Consideramos então que os números racionais englobam todos os números inteiros e aqueles que ficam nos intervalos entre os números inteiros.

-3 -2 -1 0 1 2 3

_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____

0,8

Numero racional

A letra que representa os Números Racionais = Q

Exemplo de números racionais Q = {-1-,2,-3,0,1,(1,5),(1,7),2,3}

O símbolo Q* é usado para determinar o conjunto dos números racionais sem o número “ 0”.

Q* = {-1,-2,-3,1,(1,5),(1,7)}

Números Irracionais

Números Irracionais é o conjunto dos números que não podem ser escritos na forma P/Q (P dividido por Q), como P e Q inteiros. Então quando a divisão de dois números tem como resultado um número com infinitas casas depois da vírgula que não se repetem periodicamente (dízima periódica), temos como resultado um número chamado e definido pela matemática como Irracional. Não podemos situar um número Irracional em uma reta de números.

Exemplos de Números Irracionais: Raiz quadrada do número 2, número 3, e etc.

Um número irracional famoso é o PI () = 3,141592...

O número de Euler = 2,71828

Numero Irracional na reta numérica: (Não podemos definir)

-3 -2 -1 0 1 2 3 () = 3,141592... (???)

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Números Reais

Números Reais é o conjunto de números formados pelos números irracionais e racionais, e é indicado pela letra “R”.

Como todo número natural é inteiro, todo número inteiro, então, é racional e todo número racional é real, temos a seguinte sentença:

NZQR

Os Números Reais sem o elemento “ 0” são indicados pela letra R*, tornando-se o conjunto de números reais sem o número “ 0”, ou seja, R* = R-{0}.

Números Primos

Números primos são todos os números inteiros diferentes do número 1, que somente são divisíveis por 1 e por ele mesmo. Estes números têm grande importância na Aritmética.

Para os números inteiros podemos provar com facilidade que:

1. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é considerado primo se, sempre que dividir o produto dos inteiros yz, então também divide y ou z (ou então talvez ambos).
2. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é primo se não puder ser decomposto em fatores X=yz, nenhum deles sendo 1 ou -1.

Como podemos provar que um número é primo ou não?

Para comprovamos a primalidade de um número devemos ter em mente que com números pequenos a tarefa até que não é muito complicada, mas à medida que os números se tornam maiores, a comprovação de quem número é primo ou não, ou seja, comprovar sua primalidade pode se tornar muito complexo.

Teste Rápido:

Para os números primos pequenos, podemos usar o que chamamos de Crivo de Erastótenes, ou simplesmente a método da divisão por tentativa. Este método é seguro e é um dos melhores para os números pequenos. Porém, são extramemente demorados antes mesmo que os números atinjam 25 dígitos.

O método por tentativa, conforme exposto acima, é simples e podemos calcular se um número é primo.

Para determinar se certo número inteiro pequeno é primo, basta dividir por todos os números primos menores ou iguais à sua raiz quadrada.

Um exemplo simples :

Vamos saber se 323 é um número primo. A raiz quadrada de 323 é = 17,9722, então, vamos dividir 323 por 2,3,5,7,11 e 17. Caso nenhum destes primos dividirem 323, então este número será primo. Fazendo as divisões e os cálculos, verificamos que este número não é primo, pois é divisível por 17. Veja: 323÷2= 161, resto 1 | 323÷3=107, resto 2 |323÷5=64, resto 3 |323÷7=46, resto 1 | 323÷11=29, resto 4 | 323÷17= 19, resto 0

Observe uma tabela com alguns números primos para consultas futuras, apenas 100 números, existem milhares de números primos.

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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