Concurso publico

Objetivos:

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste décimo - sétimo tutorial serão tratados assuntos sobre sistemas lineares, bem como definições, exemplos e problemas resolvidos. Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

Sistemas Lineares

Definição

É todo sistema que pode ser definido em que se têm “m” equações a “n” incógnitas do tipo a seguir:

Exemplos de fixação de definição

1) O sistema S1, informado abaixo, é um sistema linear com 3 equações e 3 variáveis de primeiro grau.

S1 = 2x + 4y –z = 4

-2x + 3y + 4z = 7

X + y + 5z = 9

2) O sistema S2, informado abaixo, é considerado um sistema linear com 04 equações e 3 variáveis.

S2 = 5x + 4y + z = 5

-3x + 7y + 3y =6

X + y + 4z = 8

4x + 2y – 5z = 15

3) O sistema S3, informado abaixo, é considerado um sistema linear homogêneo com 3 equações e variáveis.

S3 = 2x + 5y – z = 0

-3x + 2y + 2z = 0

X + y + 5z = 0

Este sistema é considerado homogêneo porque todos os termos do sistema são nulos ou igual 0.

Soluções de um Sistema Linear

Podemos dizer que um sistema de equações lineares com “n” incógnitas, que podem ser colocadas como X1, X2, X3, X4...., admite como sua solução uma seqüência em ordem definida como r1, r2, r3, r4, se e somente nesta condição, substituindo X1 = r1, X2 = r2, X3 = r3, X4, r4, Xn = rn, e em todas as equações do sistema informado, elas se tornarem todas verdadeiras.

- Exemplos de fixação de definição

Observe o sistema:

X + y = 12

X - y = 4

Temos aqui uma solução igual a (8, 4), pois se substituindo x = 8 e y = 4 em cada equação dada do sistema temos o cálculo:

( 8 ) + ( 4 ) = 12 (afirmação verdadeira)

( 8 ) – ( 4 ) = 4 (afirmação verdadeira)

Observe o sistema abaixo:

X + y = 16

X – y = 2

Temos aqui uma solução igual a (7, 9), pois se substituindo x = 9 e y = 9 em cada equação dada do sistema temos o cálculo:

( 7 ) + ( 9 ) = 16 (afirmação verdadeira)

( 7 ) – ( 9 ) = 2 (afirmação verdadeira)

Um outro exemplo de solução:

X + y = 42

X – y = 8

Temos aqui uma solução igual a (25, 17), pois se substituindo x = 25 e y = 17 em cada equação dada do sistema temos o cálculo:

( 25 ) + ( 17 ) = 42 (afirmação verdadeira)

( 25 ) – ( 17 ) = 8 (afirmação verdadeira)

Um sistema linear pode ter mais de uma solução ou mesmo pode não possuir nenhuma solução.

Tipos de sistema linear

Conforme as soluções os sistemas lineares podem ser definidos como:

- Uma única solução: Pode ser chamado de sistema linear determinado.

- Várias soluções: Pode ser chamado de sistema linear indeterminado.

Obs. Se ao buscar o valor de uma das variáveis, chegarmos a uma expressão do tipo:

3 = 3 ou 0 = 0

Ou qualquer outra expressão que tenha uma sentença que seja sempre verdadeira, o sistema terá infinitas soluções e poderemos chamá-lo de possível, mas indeterminado.

- Não tem solução: Pode ser chamado de sistema linear impossível

Obs. Se ao buscar o valor de uma das variáveis, chegarmos a uma expressão do tipo:

0 = 3 ou 2 = 5

Ou qualquer outra expressão que tenha uma sentença que seja sempre falsa, o sistema não terá qualquer solução e poderemos chamá-lo de impossível.

O conjunto solução de um sistema chamado de impossível é vazio.

Propriedades de um Sistema Linear

1) Um sistema linear chamado de homogêneo tem sempre pelo menos uma solução, pois :

X1 = 0

X2 = 0

X3 = 0, Xn = 0

Sempre terá todas as sentenças do sistema verdadeiras.

A solução (0,0,0,0....) é chamada de solução trivial.

2) Um sistema com n equações e n variáveis terá uma solução única (chamado de sistema determinado) se, e somente na condição de, que o determinante formado pelos coeficientes do sistema for diferente de zero (≠0).

Operações elementares com sistema linear

Existem 03 tipos de operações que podemos chamar de “elementares” e que podem ser feitas no cálculo de um sistema linear de equações, de forma que transforme este sistema em outro equivalente, porém mais simples.

Observe abaixo um exemplo de como trabalhar com estas operações elementares sobre linhas. O sistema que está à direta na tabela já é o resultado da ação de cálculo da operação elementar.

1. Troca de posição de duas equações do sistema

2. Multiplicação de uma equação por um número não nulo

3. Adição de duas equações do sistema

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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Objetivos:

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste décimo - segundo tutorial, em se tratando do tema “sistema métrico decimal”, visto no tutorial décimo, serão vistos assuntos sobre tabelas de múltiplos e submúltiplos de medidas, bem como algumas das principiais medidas das mais diversas áreas e volumes. Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

ALGUMAS TABELAS DAS PRINCIPAIS MEDIDAS DE VOLUMES E ÁREAS

Definição

Como informado no tutorial de número 10, “Sistema Métrico Decimal”, faz parte do Sistema de Medidas, e este é adotado no Brasil e tem como unidade principal fundamental o metro.

No sistema de Medidas, são consideradas também outras unidades de medidas, consideradas também fundamentais:

Múltiplos e Submúltiplos Diversos

- O grama

Pertence ao gênero masculino. Tenha cuidado, por tanto, ao escrever e pronunciar essa unidade de medidas em seus múltiplos e submúltiplos, fazendo as devidas concordâncias.

Ex.:

cinco quilogramas

setecentos miligramas

trezentos e vinte gramas

novecentos e dois gramas

Atente para isto: cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

10 dag = 100 hg

1 g = 10 dag

- O Litro

Pertence ao gênero masculino. É uma unidade de medida de volume que está veiculada diretamente ao sistema métrico decimal e, por tanto, obedecendo aos seus padrões.

Cada Litro corresponde a 01 decímetro cúbico. Em referência ao litro de água (01 l), corresponde a aproximadamente 01 quilograma da substância medida.

Ex.:

(01 l água), um litro de água.

(2,478 dal), dois decalitros e quatrocentos e setenta e oito centilitros

(30, 252 dal), trinta decalitros e duzentos e cinqüenta e dois centilitros

Atente para isto: cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

10 l = 100 l

1 l = 10 dal

- O Prefixo Quilo

É simbolizado pela letra (K), que indica que a unidade é resultado da multiplicação por mil. Este prefixo Quilo não pode ser usado sozinho.

Observe:

Errado: quilo; k

Certo: quilograma, kg

Medidas Diversas

- Medidas comprimento

Unidade principal: METRO (m)

Ex.: 01 Km = 1000 m

Ex.: 100 m = 10 dam

Esta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo:

- Medidas de área

Unidade principal: METRO QUADRADO (m²)

Ex.: 1000 m²

Ex.: 1 m²

Esta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo:

- Medidas de volume

Unidade principal: METRO CÚBICO (m)

Ex.: 1000 m

Ex.: 1 m

Esta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo:

- Medidas de capacidade

Unidade principal: LITRO (l)

Ex.: 1 l

Ex.: 1000 Litros

Esta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo:

- Medidas agrárias

Unidade principal: ARE (a)

Ex.: 1 a

Ex.: 100 hectare

Esta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo:

- Medidas para lenha (madeira)

Unidade principal: ESTÉREO (st)

Esta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo:

Obs.: Uma unidade de st (estéreo) equivale a 01 m (metro cúbico)

- Medidas de ângulos

Unidade principal: ÂNGULO RETO (r)

Uma das unidades de ângulo plano é o ângulo reto, e que o símbolo é representado pela letra (r).

Veja a tabela abaixo:

Obs. Importante: os múltiplos e submúltiplos do ângulo reto não têm designação própria, exceto o “grado”, que é a única designação usada para submúltiplo.

Tabela com algumas unidades de medidas

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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Objetivos:

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste décimo - primeiro tutorial serão vistos os cálculos com porcentagem e algumas definições, bem como serão colocados exemplos para fixação de conteúdo. Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

PORCENTAGEM

* Definição

PORCENTAGEM pode ser definida como a centésima parte de uma grandeza, ou o cálculo baseado em 100 unidades.

É visto com freqüência as pessoas ou o próprio mercado usar expressões de acréscimo ou redução nos preços de produtos ou serviços.

Alguns exemplos:

- O Leite teve um aumento de 25%

Quer dizer que de cada R$ 100,00 teve um acréscimo de R$ 25,00

- O cliente teve um desconto de 15% na compra de uma calça jeans

Quer dizer que em cada R$ 100,00 a loja deu um desconto de R$ 15,00

- Dos funcionários que trabalham na empresa, 75% são dedicados.

Significa que de cada 100 funcionários, 75 são dedicados ao trabalho ou a empresa.

* Noção da porcentagem em números

Exemplos:

a)

60 de 150 dias de trabalho = 90 dias

100

O número 90 dias de trabalho representa : PORCENTAGEM

b)

70 de R$ 120,00 de compra = R$ 84,00

100

O valor de R$ 84,00 representa : PORCENTAGEM

* O que é taxa de porcentagem

É definido como taxa de porcentagem o valor obtido aplicando uma determinada taxa a um certo valor. Também pode-se fixar a taxa de porcentagem como o numerador de uma fração que tem como denominador o número 100.

* Como calcular porcentagem

Todo o cálculo de porcentagem, como informado, é baseado no número 100.

O cálculo de tantos por cento de uma expressão matemática ou de um problema a ser resolvido é indicado pelo símbolo (%), e pode ser feito, na soma, por meio de uma proporção simples.

Para que se possam fazer cálculos com porcentagem (%), temos que fixar o seguinte:

1) A taxa está para porcentagem (acréscimo, desconto, etc), assim como o valor 100 está para a quantia a ser encontrada.

Exemplificando:

Um título tem desconto 10%, sobre o valor total de R$ 100,00. Qual o valor do título?

30% : R$ 100,00

100% : X

X = R$ 30,00

2) O número que se efetua o cálculo de porcentagem é representado por 100.

Exemplificando:

Efetue o cálculo 10% de 50

100% : 50

10% : X

X = 5

Obs. Nos dois exemplos dados foram usados o sistema de cálculo de regra de três, já ensinados em tutoriais anteriores.

3) O capital informado tem sempre por igualdade ao 100.

Exemplificando:

Efetua-se o resgate de um cheque pré-datado no valor de R$ 150,00 e obtem-se um desconto de 20%

100% : R$ 150,00

20% : X

X = R$ 30,00

* Exemplos para fixação de definição

1) Um jogador de basquete, ao longo do campeonato, fez 250 pontos, deste total 10% foram de cestas de 02 pontos. Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos.

10% de 250 = 10 X 250 = 2500 = 25

100 100

Portanto, do total de 250 pontos o jogador fez 25 pontos de 02 pontos.

2) Um celular foi comprado por R$ 300,00 e revendido posteriormente por R$ 340,00, qual a taxa percentual de lucro ?

Neste caso é procurado um valor de porcentagem no qual são somados os R$ 300,00 iniciais com a porcentagem aumentada e que tenha como resultado o valor de R$ 340,00

300 + 300.X/100 = 340

3X = 340 – 300

X = 40/3

X = 13,333 (dízima periódica)

Assim, a taxa de lucro obtida com esta operação de revenda foi de 13,33%

* Fator Multiplicante

Há uma dica importante a ser seguida, no caso de cálculo com porcentagem. No caso se houver acréscimo no valor, é possível fazer isto diretamente através de uma operação simples, multiplicando o valor do produto/serviço pelo fator de multiplicação.

Veja:

Tenho um produto X, e este terá um acréscimo de 30% sobre o preço normal, devido ao prazo de pagamento. Então basta multiplicar o valor do mesmo pelo número 1,30. Caso o mesmo produto ao invés de 30% tenha 20% de acréscimo então o fator multiplicante é 1,20.

Observe esta pequena tabela:

Exemplo: Aumente 17% sobre o valor de um produto de R$ 20,00, temos R$ 20,00 * 1,17 = R$ 23,40

E assim sucessivamente, é possível montar uma tabela conforme o caso.

Da mesma forma como é possível, ter um fator multiplicante quando se tem acréscimo a um certo valor, também no decréscimo ou desconto, pode-se ter este fator de multiplicação.

Neste caso, faz-se a seguinte operação: 1 – taxa de desconto (isto na forma decimal)

Veja:

Tenho um produto Y, e este terá um desconto de 30% sobre o preço normal. Então basta multiplicar o valor do mesmo pelo número 0,70. Caso o mesmo produto ao invés de 30% tenha 20% de acréscimo então o fator multiplicante é 0,80.

Observe esta pequena tabela:

Exemplo: Desconto de 7% sobre o valor de um produto de R$ 58,00, temos R$ 58,00 * 0,93 = R$ 53,94

E assim sucessivamente, é possível montar uma tabela conforme o caso.

* Exercícios resolvidos de porcentagem

Os exercícios propostos estão resolvidos, em um passo-a-passo prático para que se possa acompanhar a solução de problemas envolvendo porcentagem e também para que se tenha uma melhor fixação sobre o conteúdo.

1) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 555,00 e que pretende ter com esta um lucro de 17%?

Solução:

100% : 555

17 X

X = 555x17 /100 = 9435/100

X = 94,35

Temos o valor da mercadoria: R$ 555,00 + R$ 94,35

Preço Final: R$ 649,35

Obs. Este cálculo poderia ser resolvido também pelo fator multiplicador: R$ 555,00 * 1,17 = R$ 649,35

2) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada matéria. Qual o número máximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele será reprovado, caso tenha faltado a 30% (por cento) das aulas ?

Solução:

100% : 30

30% : X

X = 30.30 / 100 = 900 / 100 = 9

X = 9

Assim, o total de faltas que o aluno poderá ter são 9 faltas.

3) Um imposto foi criado com alíquota de 2% sobre cada transação financeira efetuada pelos consumidores. Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 15.250,00, receberá líquido quanto?

100% : 15.250

0,7% : X

Neste caso, use diretamente o sistema de tabela com fator multiplicador. O capital principal que é o valor do cheque é : R$ 15.250,00 * 0,98 = R$ 14.945,00

Assim, o valor líquido do cheque após descontado a alíquota será de R$ 14.945,00. Sendo que os 2% do valor total representam a quantia de R$ 305,00.

Somando os valores: R$ 14.945,00 + R$ 305,00 = R$ 15.250,00

Obs. Os quadros dos cálculos foram colocados em cada operação repetidamente, de propósito, para que haja uma fixação, pois é fundamental conhecer “decoradamente” estas posições.

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

Clique aqui para ler o texto completo.

Objetivos:

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste nono tutorial será visto o sistema de cálculo com potências, bem como serão colocados exemplos para fixação de conteúdo. Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

POTÊNCIAS

* Definição

Dado um certo número real qualquer, e um número n, inteiro e positivo, é definido iⁿ = potência de base (i) e com expoente (n) como sendo o produto de n fatores iguais a (i).

Exemplos de fixação da definição:

Potência = 2³

2 x 2 x 2 = ( 03 fatores) = 8

Potência = 3⁵

3 x 3 x 3 x 3 x 3 = (05 fatores) = 243

Notação: 2³ = 8

2 - BASE

3 - EXPOENTE

8 - POTÊNCIA

Notação: 3⁵ = 243

3 - BASE

5 - EXPOENTE

243 - POTÊNCIA

Alguns casos particulares:

1) Expoente igual a um (1)

(1/2)¹ = 1/2

5¹ = 5

³¹ = 3

2) Expoente igual à zero (0)

5⁰ = 1

6⁰ = 1

7⁰ = 1

Por convenção, resolveu-se que toda número elevado ao número zero, o resultado será igual a 1.

Mais Exemplos de fixação da definição:

1) 5³ = 5 x 5 x 5 = 125

2) 4⁰ = 1

3) 10⁰ = 1

4) 20¹ = 20

* Propriedades de Potências

- Divisão de potência de mesma base

Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum e subtraem-se os expoentes conforme a ordem o qual eles aparecem no problema.

Exemplos de fixação:

1) 2⁴ ÷ 2 = 2^4-1 = 2³

2) 3⁵ ÷ 3² = 3^5-2 = 3²

3) 4⁶ ÷ 4³ = 4^6-3 = 4³

Temos então: I^m ÷ Iⁿ = Im-n , I#0

- Produto de potência de mesma base

Na operação de multiplicação entre potências de mesma base, é conservada a base comum e somam-se os expoentes em qualquer ordem dada no problema.

Exemplos de fixação:

1) 2⁴ x 2 = 2⁴⁺¹ = 2⁵

2) 3⁵ x 3² = 3⁵⁺² = 3⁷

3) 4⁶ x 4³ = 4⁶⁺³ = 4⁹

Temos então: I^m x Iⁿ = I^m+n

- Potência de Potência

Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efetuar este cálculo conserva-se a base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos.

Exemplos de fixação:

1) (2³)⁴ = 2¹² , pois = 2³ x 2³ x 2³ x 2³

2) (3²)³ = 3⁶ , pois = 3² x 3² x 3²

3) (4²)⁵ = 4¹⁰ , pois = 4² x 4² x 4² x 4² x 4²

Temos então: (Iⁿ)^m = I^nxm

- Potência de um produto

Para se efetuar esta operação de potência de um produto, podemos elevar cada fator a esta potência.

Exemplos de fixação:

1) (b⁵ya³ )⁴ = b²⁰y⁴a¹²

2) (c²d²e⁵ )² = c⁴d⁴e¹⁰

3) (d³a⁴ )³ = d⁹a¹²

Temos então: (I.T)^m = I ^m x T ^m

- Potência com expoente negativo

Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração o qual o numerador é a unidade positiva e o denominador é a mesma potência, porém apresentando o expoente positivo.

Exemplos de fixação:

1) 2^-4 = 1/2⁴ = 1/16

2) 3^-3 = 1/3³ = 1/27

3) 4^-2 = 1/4² = 1/16

Temos então: (I)^-m = 1/I ^m I#0

- Potência de fração

Para se efetuar o cálculo deste tipo de fração, eleva-se o numerador e denominador, respectivamente, a esta potência.

1) (a/b)⁴ = a⁴/b⁴ = b#0

2) (a² /b⁴)³ = a⁶/b¹² = b#0

3) (a³ /b²)³ = a⁹/b⁶ = b#0

Temos então: (a/b)^m = a^m/b^m b #0

- Potência de 10

Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. Para isto guarde bem estas técnicas :

1) Para se elevar 10ⁿ (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a direito do número 1.

Exemplos de fixação:

a) 10⁴ = 10000

b) 10⁶ = 1000000

c) 10⁷ = 10000000

2) Para se elevar 10-n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a esquerda do número 1, colocando a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu.

Exemplos de fixação:

a) 10-4 = 0,0001

b) 10-6 = 0,000001

c) 10-7 = 0,0000001

3) Decompondo números em potências de 10

Exemplos de fixação (números maiores que 1):

a) 300 = 3.100 = 3.10²

b) 7000 = 7.1000 = 7.10³

c) 10.000 = 1.10000 = 1.10⁴

Exemplos de fixação (números menores que 1):

a) 0,004 = 4.0,001 = 4.10^-3

b) 0,0008 = 8.0,0001 = 8.10^-4

c) 0,00009 = 9.0,00001 = 9.10^-5

- Potência de números relativos

a) Caso o expoente seja par o resultado dará sempre positivo.

Veja: (+2)² = 4 / / (-2)⁴ = 16

b) Caso o expoente seja impar, o resultado trará sempre o sinal da base da potência.

Veja: (+3)³ = 27 / / (-3)³ = -27

Observação importante: -2² # (-2) ² , pois -2² = -4 e (-2) ² = 4. A diferença está que na primeira potência apenas o número 2 está elevado ao quadrado, enquanto que na segunda o sinal e o número 2 estão elevados ao quadrado, tornando o resultado, então, positivo, conforme colocado.

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

Clique aqui para ler o texto completo.

Objetivos:

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste sexto tutorial serão visto as questões das propriedades do MMC e MDC (ver tutorial n.º5 para conceitos), bem como serão colocados exercícios resolvidos para fixação de conteúdo. Serão acompanhadas as definições técnicas deste tema, e realizados vários exercícios já com suas respostas fornecidas para que a pessoa possa acompanhar passo-a-passo a aplicação de cada item. Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

Propriedades do Mínimo Múltiplas Comuns (MMC) e MDC

* Definição

Conforme definição no tutorial anterior, de n.º5, temos que um número natural (a) é múltiplo de outro número natural (b), caso exista outro número natural que o satisfaça (MMC). Também foi visto que se dois números inteiros que não sejam nulos (# 0), diferente de zero, temos os conjuntos dos divisores destes números (MDC), tendo sempre dois ou mais números comuns a todos eles, aos quais são denominados divisores comuns.

Assim temos as propriedades imediatas do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e do Máximo Divisor Comum (MDC) para aplicação de alguns casos e soluções.

* Propriedades

1) Se o MDC (b,c) = 1, então os números b e c são denominados primos relativos ou somente primos entre si.

Exemplos:

MMC (25,36) = 1

Assim os números 25 e 36 são primos entre si, pois o MMC encontrado é igual a 1.

MMC (49,64) = 1

Desta forma os números 49 e 64 são primos entre si, pois o MMC encontrado é igual a 1.

2) MMC (b, n x b) = n x b e MDC (b, n x b) = b

Exemplos:

MMC (20,40) = 40 e MDC (20,40) = 20

Pois 40 = 2 x 20

MMC (8,16) = 16 e MDC (8,16) = 8

Pois 16 = 2 x 8

3) MMC (a,b) x MDC (a,b) = a x b

Exemplos:

Dados os números 57 e 60 = 57 x 60 = 3420

MMC (57,60) x MDC (57,60) = 3420

Dados os números 19 e 88 = 19 x 88 = 1672

MMC (19,88) x MDC (19,88) = 1672

4) MMC (c, d) = w, então MMC (qc, qd) = qm # 0 (q#0)

Exemplos:

MMC (2,4) = 4

Então MMC (20,40) = 40 ( que é o cálculo de 4 x 10 )

MMC (8,12) = 24

Então MMC (80,120) = 240 (que é o cálculo de 24 x 10)

5) MDC (a,b) = d então MDC (qa, qb) = qd (q # 0)

Exemplos:

MDC (6,8) = 2

Então MDC (60,80) = 20 (que é o cálculo de 2 x 10)

MDC (5,15) = 5

Então MDC (50,150) = 50 (que é o cálculo de 5 x 10)

6) Dado dois números ou mais, se dois a dois, eles são primos entre si, o seu MMC será o produto deles.

Exemplos:

MMC (4,5,9) = 4 x 5 x 9 = 180

Pois 4, 5 e 9 são, dois a dois, primos entre si.

MMC (2,5,7) = 2 x 5 x 7 = 70

Pois 2,5 e 7 são, dois a dois, primos entre si.

7) Dados dois números e eles sendo consecutivos, estes são sempre primos entre si, ou seja, MDC(y, y + 1) = 1

Exemplos:

MDC (17,18) = 1

MDC (37,38) = 1

* Aplicabilidade do Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

Item 1 – Suponhamos que o Presidente de uma multinacional tenha mandato de trabalho colocado por força maior, este tempo é de 4 anos, os assessores deles também tem este mandato que é de 6 anos e os auxiliares tem o mesmo mandato de 3 anos. Se em 2001 houve eleição interna nesta empresa, por voto de todos os colaboradores, para os 03 cargos, em que ano se realizarão novamente e simultaneamente as eleições para esses cargos?

Solução do problema:

Calculando o MMC (4, 6 e 3 ) = 12

Desta forma é encontrado o número de anos necessários para que tenham novas eleições conjuntas.

Como a última eleição foi feita no ano de 2001, então temos: 2001 + 12 = 2013.

Assim somente no ano de 2013 haverá votação simultânea entre todos os cargos.

Item 2 – Duas rodas de uma engrenagem qualquer têm 12 e 16 dentes, respectivamente. Cada roda tem dois dentes estragados.

Dado certo momento, estão em contato os quatro dentes estragados, após quantas voltas se repete novamente este encontro.

Solução do problema:

Calculando o MMC (12,16) = 48

O número 48 representa o número de dentes que deverá passar pelo ponto de origem para que se repita o encontro.

Fazemos então o seguinte cálculo 48 / 12 e 48 / 16. Desta forma é encontrado, respectivamente o número de voltas que a roda menor e a maior deverão fazer. Assim:

48 / 12 = 4 e 48 / 16 = 3

Seguindo o mesmo raciocínio de aplicabilidade para o MMC, pode se usar o uso do MDC, apenas aplicando cada um segundo necessidade.

* Exercícios resolvidos

Para melhorar a fixação do conceito de MMC e MDC, segue alguns exercícios resolvidos, Acompanhe os cálculos passo-a-passo.

Exercícios

1) Determine o menor número positivo que é múltiplo, ao mesmo tempo, de 5, 6 e 7.

Solução:

O menor número chamamos de MMC (5,6,7)

Fatore os números:

5, 6, 7 | 2

5, 3, 7 | 3

5, 1, 7 | 5

1, 1, 7 | 7

1, 1, 1

MMC (5,6,7) = 2 x 3 x 5 x 7 = 210

2) Determine o menor número inteiro positivo de três algarismos, que é divisível, ao mesmo tempo, por 4,8,12.

Solução:

Ser divisível por 4,8,12 é ser múltiplo. Desta forma procuramos o MMC

MMC (4,8,12) = 24

Fatore os números

4, 8, 12 |2

2, 4, 6 |2

1, 2, 3 |2

1, 1, 3 |3

1, 1, 1

Como 24 não têm três algarismos, o número procurado deverá ser múltiplo de 24 que tenha três algarismos.

Assim: 24 x 1 = 24, 24 x 2 = 48... 24 x 5 = 120

O menor múltiplo positivo de 24 de três algarismos é 120, que deste modo é o número procurado.

3) Temos que os números 24, 36 e 48 possuem vários números divisores comuns, como exemplo os números 2 e 4. Determine o maior divisor comum a 24, 36 e 48.

Solução:

O maior divisor entre os números é chamado de MDC.

Calculando o MDC:

24, 36, 48 |2

12, 18, 24 |2

6, 9, 12 |3

2, 3, 4 |

MDC (24,36,48) = 2 x 2 x 3 = 12

4) Determine os menores números inteiros positivos pelos quais devem ser divididos os números 72 e 120 de modo que se obtenham divisões exatas com quocientes iguais.

Solução:

O quociente comum as duas divisões deverá ser o MDC(72, 120) que fazendo os cálculos é 24.

Temos: 72 / 24 = 3 e 120 / 24 = 5

Portanto: 72 / 3 = 24 e 120 / 5 = 24.

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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